Christoph
Rudolff —nacido en 1499 en Jawor, Región de Silesia; fallecido en 1545
en Viena— fue el autor del primer libro alemán de álgebra.
Rudolff
fue desde 1517 a 1521 alumno de Henricus Grammateus —un escriba de
Érfurt— en la Universidad de Viena y fue al autor de un libro sobre
computación, bajo el título de: Behend und durch die hübsch Rechnung kunstreichen Regeln Algebre.
Él introdujo el uso del signo radical
en la raíz cuadrada. Se cree que esto se debió a que el símbolo se
parecía a una «r» minúscula (por «radix»), aunque no hay evidencia
directa. Cajori solo se limitó a decir que el «punto es el embrión de
nuestro actual símbolo de raíz cuadrada», a pesar de que según el mismo
«posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff no
fueran puntos, sino erres.
Rudolff, además, dio una definición comprensible de x0 = 1.
Matemático algebrista
alemão nascido em Jauer, Silésia, hoje Jawor, Polônia,
que publicou Coss (1525), o primeiro livro germânico sobre
álgebra, uma das mais antigas publicações a usar frações
decimais, bem como o moderno símbolo para raízes. Ele permaneceu
em Viena depois de estudar na universidade e ganhou a vida principalmente
dando aulas particulares em matemática. Professor de álgebra
na Universidade de Viena (1517-1521), usou o espaço oferecido pela
universidade, e podendo usar livros na biblioteca universitária
e ensinado aos acadêmicos na universidade. Calculou polinômios
com coeficientes racionais e irracionais e definiu que ax2
+
b = cx tinha duas raízes.
John Wallis
John Wallis
(Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703) fue
un matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del
cálculo moderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo
la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito).
Entre 1643 y 1689 fue criptógrafo del Parlamento y posteriormente de la
Corte real. Fue también uno de los fundadores de la Royal Society y profesor en la Universidad de Oxford.
Biografía
Nació
en Ashford (Kent),
fue el tercero de los cinco hijos del reverendo John Wallis y Joanna
Chapman. Inició su educación en la escuela local de Ashford, pero se
trasladó a la escuela James Movat en Tenterden en 1625 debido al brote
de una plaga. Tuvo su primer contacto con las matemáticas en 1631 en la
escuela Martin Holbeach de Felsted;
le gustaban pero su estudio de las mismas fue errático, “las
matemáticas que en este momento tenemos, pocas veces son vistas como
estudios académicos, mas como algo mecánico” (Scriba 1970).
Con la intención de que obtuviera un doctorado, en 1632 fue enviado al Emmanuel College
en Cambridge.
Allí, defendió un argumento sobre la doctrina de la circulación de la
sangre; se considera que fue la primera vez en Europa que esta teoría
era públicamente mantenida en una discusión. En cualquier caso, sus
intereses seguían centrados en las matemáticas. Obtuvo la licenciatura
en Artes en 1637, y un Máster en 1640, posteriormente se incorporó al
sacerdocio. Se le concedió una beca para estudiar en el Queen's College
(Cambridge) en 1644, lo cual no le impidió continuar con sus planes de
su boda con Susana Glyde celebrada el 14 de marzo de 1645.
Durante
este tiempo, Wallis se mantuvo próximo al partido Puritano al que
prestó ayuda para descifrar los mensajes de los monárquicos. La calidad
de la criptografía de la época no era uniforme; a pesar de los éxitos
individuales de matemáticos como François Viète,
los principios subyacentes al diseño y análisis del cifrado eran
entendidos vagamente. La mayoría de los cifrados se realizaban con
métodos ad-hoc que confiaban en algoritmos
secretos, en contraposición a sistemas basados en una clave variable.
Wallis consiguió que estos últimos fueran muchos más seguros e incluso
los describió como indescifrables.
También estaba preocupado por el uso que pudieran hacer del cifrado
las potencias extranjeras; rechazó, por ejemplo, una solicitud para
enseñar criptografía a estudiantes de Hanóver realizada en 1697 por Gottfried Leibniz.
De regreso a Londres (en 1643 había sido nombrado capellán de San
Gabriel en Fenchurch Street), Wallis se une al grupo de científicos que
posteriormente formarían la Royal Society. Al fin podía satisfacer sus
intereses matemáticos, llegando a dominar en unas pocas semanas de 1647
el libro Clavis Mathematicae de William Oughtred.
En poco tiempo, empezó a escribir sus propios tratados sobre un amplio
número de materias: a lo largo de su vida, Wallis realizó contribuciones
significativas a la trigonometría, el cálculo, la geometría y el análisis de las series infinitas.
John
Wallis se unió a los Presbiterianos moderados apoyando la proposición
contra la ejecución de Carlos I,
lo cual le valió la permanente hostilidad de los Independentistas. A
pesar de su oposición, fue propuesto en 1649 para ocupar la Cátedra
Savilian de Geometría en la Universidad de Oxford, dónde vivió hasta su
muerte el 28 de octubre de 1703. Al margen de sus trabajos en
matemáticas, también escribió sobre teología, lógica, gramática inglesa y
filosofía; asimismo, fue uno de los pioneros en la introducción en
Inglaterra de un sistema de enseñanza para sordomudos, inspirado en el
método del español Juan de Pablo Bonet.
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado
perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9,
entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por
defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4 Detrás
del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando,
separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo
lo que resta por el duplo de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5 El
cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz,
multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad
operable del radicando.
Si hubiésemos
obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando,
habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz
8Prueba.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera)2 + Resto
89 225 = 2982 + 421
Ejercicios de raíces cuadradas
Resolver la raíz cuadrada de:
Calcular la raíz cuadrada de:
Resolver la raíz cuadrada de:
Raíz cuadrada de números decimales
1 Se separan grupos de dos cifras a partir de la coma hacia la izquierda (la parte entera) y hacia la derecha (la parte decimal).
2 Si el radicando tiene en su parte decimal un número impar de cifras, se añade un cero a la derecha.
3 Prescindiendo de la coma, se extrae la raíz cuadrada del número que resulta.
4 En
la raíz, a partir de la derecha, colocamos un número de cifras
decimales igual al número de pares de cifras decimales que hubiere en
el radicando. En el resto y también a partir de la derecha, se separan
tantas cifras decimales como haya en el radicando.
Ejercicios de raíz cuadrada con decimales
Calcular la raíz cuadrada de:
Resolver la raíz cuadrada de:
El símbolo de raíz cuadrada
Este es el símbolo que significa "raíz cuadrada", es como
una marca de "correcto", de hecho hace cientos de años empezó siendo un
punto con un palito hacia arriba.
Se le llama radical, ¡y siempre hace que las matemáticas parezcan importantes!
Se usa así: (se dice que "la raíz cuadrada de 9 es 3")
En las ciencias matematicas, se llama raíz cuadradade un número a cualquier otro número que elevado al cuadrado es igual al primero, con esta definición cada numero complejo admite exactamente dos raíces cuadradas (estas son iguales en modulo). A veces se abrevia como raíz, siendo su símbolo: . Es la radiaccion de índice 2 o, equivalentemente, la potenciaciòn
con exponente ½. El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a
cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de
algunas matrices. En los numeros cuaternioniònicos
los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas,
sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten sólo dos
raíces cuadradas.
Historia
Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al
plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal
de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras,
fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un
método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas
de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión dada por:
Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge (como valor inical
puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de
la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros
desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas
durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época. Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz. Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:
"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calcula en 1613 raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la Matemática.
El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz.
También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del
punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde
posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del
radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.
en la raíz cuadrada. Se cree que esto se debió a que el símbolo se
parecía a una «r» minúscula (por «radix»), aunque no hay evidencia
directa. Cajori solo se limitó a decir que el «punto es el embrión de
nuestro actual símbolo de raíz cuadrada», a pesar de que según el mismo
«posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff no
fueran puntos, sino erres.
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
. Es la radiaccion de índice 2 o, equivalentemente, la potenciaciòn
con exponente ½. El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a
cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de
algunas matrices. En los numeros cuaternioniònicos
los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas,
sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten sólo dos
raíces cuadradas.
dada por:
(como valor inical 
puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de
la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros
desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas
durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.